"36. При увольнении работника (прекращении трудового договора) записи, внесенные в его трудовую книжку за время работы у данного работодателя, заверяются подписью работодателя или лица, ответственного за ведение трудовых книжек, печатью работодателя (кадровой службы) (при наличии печатей)." - Приказ Минтруда России от 19.05.2021 N 320н
Вывод - нужно.