Могу ли я как самозанятая вести тендерное сопровождение компании, в которой не работаю? На сайте...

Наверное можете, главное, чтоб гражданско-правовой договор не был переквалифицирован позднее проверяющими в трудовой во избежание доначисления НДФЛ и взносов, поскольку допускаю, что работа будет вестись на постоянной основе. Должен быть как-то обозначен конечный результат. Но это ладно, Вы сами смотрите.
Что касается добавления Вас как сотрудника на госуслугах, то про это ничего не могу сказать. Добавление на госууслугах, я считаю, это не заключение договора. Проверяющие будут смотреть подписанные документы, а не статусы на госууслугах. Но можете подстраховаться и задать свой вопрос своим налоговикам с помощью официального запроса. И выстроить свою работу соответствующим образом дальше, уже имея ответ от контролеров.