Мы поставщики, отправляем товар Покупателю транспортной компанией Деловые линии за наш счет. ...

Уважаемая Главбух_Елена, компания Деловые линии, в основном, оказывает услуги по договору транспортной экспедиции https://www.dellin.ru/documents/

По этой причине, отправитель получает от них Экспедиторскую расписку, которую они оформляют в форме накладной.
У грузоотправителя, в данном случае, не возникает обязанности оформить ТН (хотя по факту он и совершает такие же действия, как если бы он отправлял груз).
И даже по требованию грузополучателя, грузоотправитель не сможет оформить ТН (ее Деловые линии просто не примут, не подпишут).

Отсюда и вопрос от поставщика - как быть, если покупатель требует ТН? Правомерно ли это? Как в этом случае оформить ТН?

На мой взгляд:
- никак не оформить ТН.
- правомерно, если в договоре поставки вы написали, что обязуетесь использовать ТН, а получатель ее подписать должен. Иначе - неправомерно.
- как быть: предложить покупателю выбрать вариант доставки груза через экспедитора Деловые линии (за хххр) либо за доставку грузовой машиной / Перевозчиком напрямую от вас до получателя (за хххр), что будет значительно дороже в ряде случаев.

Удачи.