Работник должен быть уволен по сокращению штата 31 августа. но он взял больничный лист с 29 августа...

Уволить 31 августа нельзя. Часть 6 статьи 81 ТК РФ прямо запрещает увольнение по инициативе работодателя в период временной нетрудоспособности — сокращение сюда относится. Дата увольнения переносится на первый рабочий день после закрытия больничного. Нужно посмотреть, до какого числа больничный закрыт — это указано в листке нетрудоспособности. С первого рабочего дня после этой даты и оформляется увольнение. Заново предупреждать за 2 месяца не нужно.

С 1 сентября, когда освободилась 0,5 ставки слесаря, эту вакансию нужно предложить работнику. Обязанность предлагать вакансии действует весь период до увольнения, а не только до первоначальной даты 31 августа. Вакансии во время больничного тоже нужно предлагать. 0,5 ставки — это вакантная должность, которую нужно предлагать.