Должны ли проверяющие ФНС оставлять копию направления на проверку? Имеют ли право вести фотосъёмку ...

Я правильно понимаю, что речь идёт о выездной налоговой проверке? Если да, то копию решения о проверке изначально направляют в организацию.
Фотосъёмка при выездной проверке допускается, см. пункт 13 ст. 89 п. 4 ст. 92 НК РФ.
Пункт 5 статьи 89 НК РФ определяет, что налоговые органы не вправе проводить более 2 выездных налоговых проверок в течение календарного года по одному налогоплательщику. Так что, если вас проверяют всего лишь второй раз и по другим налогам, то это не нарушение.