Можно ли с внешним совместителем каждые три месяца расторгать договор, а затем со следующего дня...

Здесь вопрос не в совместительстве, а в квалификации срочного договора в бессрончый. В . п. 14 Постановления Пленума ВС РФ от 17.03.2004 N 2 предписывается признавать срочный трудовой договор заключенным на неопределенный срок, если в ходе судебного разбирательства будет установлен факт многократности заключения срочных трудовых договоров на непродолжительный срок для выполнения одной и той же трудовой функции.
Перечень случаев, допускающих заключение срочного трудового договора указан в ст. 59 ТК РФ. Постоянное перезаключение договора с одним и тем же сотрудником, по аналогичным основаниям может стать поводом для переквалификации его в бессрочный.