Подскажите, пожалуйста, кто должен регистрировать и вести приказы по основной деятельности...

Татьяна Ярославовна, поменяйте порядок, если вас это смущает. На практике очень редко приказ не подписывается директором, поэтому регистрируют их до, более того при формировании машинным способом, в программе, регистрация производится как раз до распечатки документа, то есть, до подписания. Но если у Вас есть опасения, регистрируйте после.