В ООО директор взял на себя обязанности ведения кассы и кассовых документов, но в штате есть ещё...

Локальными документами это закрепите, по умолчанию за ведение учета отвечает руководитель.

"1. Ведение бухгалтерского учета и хранение документов бухгалтерского учета организуются руководителем экономического субъекта, за исключением случаев, если иное установлено бюджетным законодательством Российской Федерации.
3. Руководитель экономического субъекта обязан возложить ведение бухгалтерского учета на главного бухгалтера или иное должностное лицо этого субъекта либо заключить договор об оказании услуг по ведению бухгалтерского учета, если иное не предусмотрено настоящей частью. Руководитель кредитной организации обязан возложить ведение бухгалтерского учета на главного бухгалтера. Руководитель экономического субъекта, который в соответствии с настоящим Федеральным законом вправе применять упрощенные способы ведения бухгалтерского учета, включая упрощенную бухгалтерскую (финансовую) отчетность, а также руководитель субъекта среднего предпринимательства, за исключением экономических субъектов, указанных в части 5 статьи 6 настоящего Федерального закона, может принять ведение бухгалтерского учета на себя." -Закон об бухгалтерском учете.