В этой ситуации в первую очередь я советую привлечь к судебным разбирательствам органы опеки и...

В этой ситуации в первую очередь я советую привлечь к судебным разбирательствам органы опеки и попечительства, а также хорошего адвоката. Поскольку без их помощи вы не справитесь с юристами банка. Это надо было сделать еще до суда, не дожидаясь такой ситуации.
Судебная практика исходит из следующих соображений: жилье, приобретенное в ипотеку, может быть взыскано несмотря на то, что является единственным (п.1 ст.446 ГК РФ). Использование средств материнского капитала для приобретения жилья не является препятствием для взыскания. В судебной практике выносились решения о возврате недвижимости и выселении всех ее жителей (даже детей). Вопрос очень сложный, т.к. до момента выплаты ипотеки квартира находится у банка в залоге. И выделить доли детям сейчас Вы не сможете. Возможно у юристов другое мнение.
Также необходимо обратить внимание на резолютивную часть решения. Если в ней написано, что присужден долг в некоторой сумме, и нигде далее по тексту нет фразы «обратить взыскание на заложенное имущество», а также и в договоре ипотеки нигде не указано, что допустимо обратить взыскание во внесудебном порядке – то можно не бояться потерять квартиру.
В противном случае вероятность потерять квартиру есть. Ни приобретение квартиры на средства материнского капитала, ни обязательство о выделе долей несовершеннолетним детям не являются основанием для отказа банку в реализации жилья в счет погашения задолженности. Тогда, отвечая на Ваш вопрос, скажу, что да, банк выставит квартиру на торги, заберет себе всю сумму. А если что-то останется, то вернет Вашей родственнице деньги.
Всех зарегистрированных (прописанных) в квартире, включая детей, выселят из квартиры и снимут с регистрационного учета (то есть уберут прописку).
К сожалению, в данной ситуации работают требования законодательства, по которым при неуплате кредита имущество должно быть реализовано с торгов. Доли они выделить не могли, потому что это возможно только после погашения ипотеки, насколько я понимаю.
Необходимо решать вопрос и с Пенсионным фондом, так как Вы не исполнили обязательства по наделению детей, но при этом распорядились средствами, выданными по материнскому капиталу – при продаже с торгов эта сумма должна быть возвращена.