Подскажите, если директора уволить, а затем принять его по договору ГПХ есть такая возможность? И...

Любовь-75 - уже были такие "хитрющие" ходы, итог - разборки с налоговой и проигрыш в КС (см. Определение Конституционного Суда РФ от 26.10.2017 № 2470-О). И зачем это Вам, директор - сиполнительный орган компании, подписывает кучу важных документов, платежных и т.д. На мой взгляд догвоор ГПХ для этой позиции ну совем не подходит. Технически, это возможно (например ст. 42 Федерального закона от 08.02.1998 N 14-ФЗ)
, в законах по организационно правовм формам компаний (об ООО, об АО) упоминается договор между учредителем и исполнительным органом, но форма его не уточняется. При чем учитывая, что таким органом может быть только физлицо, логичнее предположить, что эт овсе же трудовой договор.

Да и на взносы, еще и  с учетом изменений 2023 года договор ГПХ с физиком вообще никак не повлиет, будете платить все то же кроме взносов на ВНиМ (ст. 20.1 Закона № 125-ФЗ).