Здравствуйте, в постановлении 384 от 31 марта 2020 года
"4. Право на получение ежемесячной выплаты имеет один из родителей или иной законный представитель ребенка, являющийся гражданином Российской Федерации и проживающий на территории Российской Федерации".
Не указано, что должен быть именно тот родитель, с которым по суду или по соглашению между родителями остается ребенок.
Такде среди причин отказа такой причины нет.
Поэтому по идее отец вашего ребенка может обратиться за пособием и отказать ему не должны, но советую еще промониторить региональное законодательство или связаться с вашей соцзащитой.