Мы подали в конце января в мфц заявление на выплаты и в январе нам добрили! Выплаты были оформлены...

Здравствуйте, в конце января подали на выплаты или все-таки в конце декабря?? Если в конце декабря и вам их одобрили, то вот-вот уже вам должна будет прийти выплата за 2020 год и январь (может, даже февраль 2021года. Если в конце января подали документы, то выплата за 2020 год вам в любом слцяае не придет. Потому что ее можно было получить, только при условии подачи заявления на выплату до 31 декабря 2020 года. В 2021 году уже назначают выплату с момента подачи заявления.  Вряд ли в соцзащита как-то узнает, что у вас уже нет прописки. Хотя, конечно, все может быть.

Тут надо смотреть, каким числом пройдет  снятие с регистрационного учета. Я так понимаю, что задним числом они вас не выпишут из квартиры (могу ошибаться), я -  не юрист. Но по идее, вас должны выписать уже в феврале, а не в декабре-январе. 

Для путинских выплат от 3 до 7 лет важно наличие регистрации на момент подачи заявления, и если моя логика верна, то пособие у вас не заберут. Просто странно, что вам вообще пособие от 3 до 7 лет одобрили по временной регистрации :). В большинстве регионов требуется именно постоянная регистрация. Но, когда вам регистрацию аннулируют, надо будет снова зарегистрироваться, иначе вероятны проблемы  с соцзащитой.

Думаю так.