Да, должен вести и в бумажном, и в электронном.  

Что указано?

Сведения по форме СЗВ-ТД (а это и есть электронная трудовая книжка) сдают все работодатели вне зависимости от того, что там выбрал работник. А то, что по неподавшему заявление работнику надо продорлжать вести бумажную трудовую книжку написано в п. 2 ст. 2 439-ФЗ.

А вот, какую книжку должен вести новый работодатель, если по старому месту работы не подано заявления, - это уже следующий спорный вопрос. И, честно говоря, четкого ответа в законе я не вижу.

Есть п. 4 ст. 2 439-ФЗ сказано, что работник, воспользовавшийся своим правом на ведение бумажной трудовой книжки, сохраняет это право и у другого работодателя. 

Формулировка не "подавший заявление на ведение бумажной книжки, а "воспользовавшийся своим правом на ведение бумажной книжки". А право на бумагу у него сохраняется и при подачи заявления, и при отсутствии какого-либо заявления. Поэтому считаю, что у другого работодателя работник, не подавший заявление, право на бумагу не теряет. 

Хотя я встречала тоже разные комментарии про неподавших заявление. От того, что нельзя будет перейти на ЭТК у следующего работодателя до того, что нельзя будет вести бумажную книжку.