Да там все печально с пропиской для этого пособия во многих регионах. У нас в Крыму, например, если дети прописаны с отцом, а заявление подает мать, которая прописана отдельно от всех, то будет отказ в пособии. Если дети нигде не прописаны, то тоже отказ.
В Челябинске в Законе Челябинской области от 09.04.2020 № 126-ЗО я про совместную прописку ничего не увидела:
Ст. 2 «1. Право на ежемесячную выплату имеет один из родителей, усыновителей, опекун, являющийся гражданином Российской Федерации и проживающий на территории Челябинской области (далее - заявитель), в семьях со среднедушевым доходом, размер которого не превышает величину прожиточного минимума на душу населения в Челябинской области, установленную в соответствии с законодательством Челябинской области во втором квартале года, предшествующего году обращения за назначением ежемесячной выплаты.
2. Право на получение ежемесячной выплаты возникает в случае, если ребенок является гражданином Российской Федерации».
Поэтому по идее не должно у вас быть отказа из-за прописки.