У него свидетельство о рождении Армянское. Через посольство можно взять гражданство? Но у старшего...

Касательно того, какие документы нужмы почитайте письмо ФСС в консульнате

Нужно:

• заявление о назначении пособия;
• документ (и его копия), подтверждающий факт рождения и регистрации ребенка, выданный компетентным органом иностранного государства, переведенный на русский язык и легализованный консульским учреждением Российской Федерации за пределами территории Российской Федерации;
• справку с места работы отца ребенка о том, что он не использует отпуск по уходу за ребенком и не получает пособия.

Как я понимаю, вы не работаете. В этом случае уже после рождения ребенка вам положено:

 - пособие по уходу за ребенком как неработающей, за вторым ребенком это будет 6 751,54 руб. в месяц (ст. ст. 4.2, 15 Закона от 19.05.1995 N 81-ФЗ).

Про материнский капитал можете забыть, так как одно из условий его полуечния приобретение гражданства по рождению (Пункт "а,б,в" ч. 1 ст. 12 Закона от 31.05.2002 № 62-ФЗ.) Вы в любом случае не подпадаете под все требования. Судебная практика в этом отношении не на Вашей стороне. Если формально у него нет второго родителя (что сомнительно) или второй родитель гражданин РФ  (что возможно) призрачный шанс отстоять это право в суде есть, но почти наверняка ПФ РФ Вам при первичном обращении откажет.

Что касается "путинских выплат", то факт их получения не связан с моментом получения российского гражданства и вероятно, если Вы будет соответствовать иным парметрам возможность получить ег оу Вас будет. Но при условии, что вы передете в РФ на постоянное место жительства и уточните этот момен тв местном органе соцзащиты.