Вот, прямо про вас материал :) https://nalog-nalog.ru/posobiya/po_beremennosti_i_rodam_dekretnoe/kak_vyplatit_posobie_po_beremennosti_i_rodam_esli_na_schetah_net_deneg/
Думаю, с нюансами будет так:
1) Да. И вообще обязан это сделать.
2) Нужно сообщить об этом ФСС. Они по идее должны проверить, что у вас нет денег на счетах. Но, полагаю, в текущей ситуации могут и этого не делать. Достаточно дать подтверждение, что вы не работаете из-за коронавируса.
3) Если у вас налажен обмен документами через Такском - наверное можно. Но лучше всего связаться с вашим отделением ФСС и спросить напрямую, как действовать в такой ситуации.
4) В описанном процессе ни одна Организация не пострадает )))