И еще вопрос: где нужно вставать на учет, по месту осуществления деятельности, т.е. в Москве? или...

Уточню по ДМС. по мнению Минтруда России (Письмо от 17.12.2015 N 16-4/В-823), при приеме на работу граждан Армении все же требуется указанный в абз. 2 ч. 1 ст. 327.3 ТК РФ договор (полис) добровольного медицинского страхования либо договор между работодателем и медицинской организацией об оказании данным гражданам платных медицинских услуг.

Однако данные граждане признаются застрахованными в системе обязательного медицинского страхования только после заключения такого трудового договора и получения статуса трудящегося государства - члена ЕАЭС. Это следует из того же письма. Вообще ситуация с ДМС для работников из стран ЕАЭС довольно противоречива, но все же отчетливо прослеживается требовние  МИнтруда о наличии ДМС при приеме.

Трудовой договор может быть бессрочным, это прямо следует из ч. 5 ст. 327.1 ТК РФ и в этом случае, он может беспрепятственно находится на территории РФ весь период его действия. На учет нужно становиться по месту пребывания работника (ч. 1 ст. 20 Федерального закона от 18.07.2006 N 109-ФЗ "О миграционном учете иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации").