Пособие от 3 до 7 лет одобрено, но перерасчет за январь-май отказ.

В Законе, на который вы ссылаетесь сказано, что одна из причин отказа в пособии - это "отсутствие у одного или обоих родителей (усыновителей) доходов без уважительной причины. Перечень таких уважительных причин устанавливается Правительством Москвы". У вас доходы до июня отсутствовали. Вот они и начали вам с июня платить. 

Другое дело, что есть еще Постановление 384, где четко прописано в п. 25.1 "При расчете среднедушевого дохода семьи не учитываются доходы членов семьи, признанных на день подачи заявления о назначении ежемесячной денежной выплаты на ребенка в возрасте от 3 до 7 лет включительно безработными". 

А такежн в Постановлении 384 есть п.6. "Ежемесячная выплата предоставляется в 2020 году за прошедший период начиная со дня достижения ребенком возраста 3 лет, если обращение за ней последовало не позднее 31 декабря 2020 г."

Поэтому, честно сказать, считаю такой отказ неправомерным. Но органы соцзащиты на местах действуют также по своим региональным законам. В вашем случае, я бы попробовала написать письменную жалобу в Департамент труда и социальной защиты населения города Москвы, а также в прокуратуру. Посмотрела бы, что бы они мне ответили. Дальше решала бы по ситуации. За спрос денег не берут.