Здравствуйте.
1. На пособие по уходу за ребенком до 1,5 лет вы и так должны подавать по окончании вашего больничного по беременности и родам. Сразу после рождения это пособие могут получить только те, кто не работает официально и не получал пособие по беременности и родам. Документы на него вы подаете по месту своей работы. Там ваша прописка значения никакого не имеет.
2. На путинские можете подать сразу после рождения ребенка, как только оформите на ребенка документы. Главное успеть это сделать до 6 месяцев малыша, тогда пособие заплатят за все месяцы с рождения. Если подадите документы в январе 2021 года, то будут брать доходы ваши за период с июля 2019 года по май 2020 года.
3. По поводу места подачи, вам нужно отталкиваться от вашей прописки. Где вы прописаны? Если в Москве, то, конечно, вам надо оформлять документы именно в Москве. По-моему, для путинских важна именно московская регистрация. Пока есть время до рождения малыша, можете себе ее сделать. Ну, и вообще, в Москве, насколько мне известно, больше всего выплат на детей, но это не точно, надо вам выписать все выплаты и просчитать. Бабушка может за вас подать документы в Москве, если она будет вашим официальным представителем. Тогда к вашим документам нужно приложить еще документы, удостоверяющие личность и полномочия представителя. Прописку в Москве сделайте до рождения ребенка, потому что иначе выплаты начислят с момента вашей регистрации в Москве (в Московской области точно так делают, полагаю, в Москве тоже). Лучше всего по путинским информацию уточните в московской соцзащите. Потому как информация по регионам существенно отличается.
4. На мос. ру написано, что подать документы на это пособие можно в центре госуслуг "Мои документы", то есть в мфц. В регионах тоже все лично документы подают.
5. Выплаты по двум регионам вряд ли получится получить. Вы получите те, которые идут по вашей прописке. Та же единовременная выплата при рождении первенца в Бурятии платится именно матери (отцу, если мать умерла или лишена родительских прав). Одно из условий получения - постоянное проживание (пребывание) в Республике Бурятии. Место рождения ребенка не так важно, как ваша прописка в документах :).Но тут надо каждую выплату смотреть.