Граждане Армении могут въезжать в Россию в безвизовом порядке (письмо МИД России от 27.04.12 № 19261/кд). Кроме того, вступивший в силу с 01.01.2015 года договор о Евразийском экономическом союзе предусматривает для граждан Армении определенные преимущества при приеме на работу.
«Трудовая деятельность трудящегося государства-члена регулируется законодательством государства трудоустройства с учетом положений настоящего Договора» (п. 4 ст. 97 Договора).
Следовательно ему достаточно представить только перечень документов согласно ст. 65 ТК РФ. ДМС в этой статье не указан.
Да, вы обязаны уведомлять территориальные органы ФМС России о заключении и прекращении (расторжении) с такими работниками трудовых (гражданско-правовых) договоров в течение 3 рабочих дней с даты заключения (прекращения, расторжения) соответствующего договора (абз. 1 п. 8 ст. 13 Закона № 115-ФЗ).
Максимальный срок временного пребывания на территории России работника из Армении определяется сроком действия его трудового (гражданско-правового) договора (п. 5 ст. 97 Договора).
Договор может быть срочным, если вы решите заключить срочный договор, продлять его нельзя, иначе п осмыслу он будет признан бессрочным. Следовательно, да, заключать новый. По поводу процедуры через МФЦ не подскажу, к сожалению.